费马 大定理
剧情简介
本片从 ;:证\明了费玛最后=定理的安 德鲁‧, [ ?怀尔斯(# #Andrew? Wiles开始谈起，描述了 F_]\)er-mat&[#39s La st, Theor@/m 的历史(始末，往前回溯`\来看，1)*994年正是/+我/ )(在念大学的时候，当时完全没有一位 教授在课堂上] 提到这件事， =也许= 他们认为;，一位真正的研究 [者，.:自然而然地会被数学吸引， ]然而对一位不是天才的学生_来说，^ 他需要的是老 ) 师的* 指引， `引!=导他走向更 高深的专 业认知，而指引];的道路，就在科普!的精神上/ ^)。 -(从费_ 玛最: 后定理] 的历史+中可以发现，有许)多研究成果!]，* 都是研究[$人员燃烧?;^*[热 情，试图提出「有%趣」的命题，)然后再尝试用逻 *-?辑验证。! 费玛最后定,. 理：xn+yn=zn 当 *n>2 (时，不存在整 ^!数解 _)( 1. 1 963年 _ :*安德鲁‧怀尔斯 And`r)ew Wiles被埃里克 %#=‧;坦普尔‧;+贝尔 %Er @)ic Temple Bell *) ?!的一+本书吸) ;@引，「最后问题+` Th/#+e Las]t P roblem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pyt *hagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方 =另外两边的平方和 x2++* @y2=z2 毕(达哥拉斯三元 *组：毕氏定理的整数解;],, 3. 费玛 Ferm-( at 在研究丢番图 Diop,h antus 的「算数)(@」]*第2卷的问题8时，在页边写下了註记 -「不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或 者将一*__个四次幂写成两个$;四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高 於2次幂，写成两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有 +%^一=个十分) ;美妙的证明，这 里空白太小，],!写不下。」 4.^ 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了 ,*载 ?=[有Ferm!at註记的「丢番图的算数」 5. 在Fe-%rmat的其他註记中[ ，隐含了对 n=4 的]!证明 => n=8, 12, ! )16, 20! ... 时无解 莱*$昂哈;]德 ‧欧拉 Leonhard E,uler*[+ 证明了 n?=3 时无解 = =& ^+gt n=6, 9, + 12, = 15 . ... 时无解 3#是质数，现在只$^要证明费玛 最后定理对於所有的质:数都成立 ?-]但 欧基- \ 里德 证明「存在无穷多个质数」 _6. 1776年 索菲‧`_\热尔#@曼 针对 (2p+1)=^的质数，`\(证明了 , 费玛最后定理 "大概&quo,[t 无解 7. 1825年 !(古斯塔夫‧# 勒瑞-狄利]克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的 ;?证明，-#:[#证明了 n=(5 无解, 8. 1839年 加/,布里尔‧拉梅 Gab_riel Lame 证明了 n=7? 无解 [9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易*?斯=/-‧科西 Augusti L@ou? #is C?auchy 同时宣称已@ 经证/明了([@ 费_^玛最后定理 ? _ 最后是刘维尔宣读了_ 恩斯特‧库默尔 Ernst Ku\ mmer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数%/ 没有唯一+@因子/分解性质-%\」=* 而失败^ 库默尔证明/! 了 ]费. 玛!最后定理的完#整证明 是当时数学方:\[法!不可能实现的` 10.1)9+-08\;年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默% +尔的;!证明] 这表!\示 费玛最后定 理的完整证明 尚未被解决=: 沃尔^=\$夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学%上23)_个未解决的问题且相信 这是迫切需要解 !决\的重要问题 12.193(1年 库特‧哥?*德尔 @! ._不可判定性定理 第一不可判定性定理`^：如果公理集合论是相容的，那么存 ((\在既不能证明又_不能否定的定理\%。 => ^+ 完: 全性是不可能达到的 -` %??第二不可$判定性定理：不存在能证明公理+/系统是相容的/构造性过程。 :_, = $&` gt. ?! +[^相容-性[永远不可能证?明 13.1963]年 ,=+保罗‧科恩@ Paul - C(o+/ hen 发展了可以检.% 验给定问题)[$=是不@是不可判定的方法（只适;:]用少数情形） 证明希尔伯* 特2 ,3+?个问题 中，其中-一个= 「连续=( 统假设」==问题是不可判定的，这对於费)玛# :^最^ @后定理来说是一.^大打?击 14.1940年 阿=伦\=‧/ 图灵 =/Alan Turing 发明破译 Enigma编)码 的反转机 #开\ :始有人利用# 暴力#$解决方法，要对 费玛最后定理([ 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基?斯 N,%aom Elkie /s 对於\* Eule%*r 提出的 @ x4+,y4+/ ^z4=w$ %4 不存在解这个推想-:%，找 :到了一个反例 - 26824404+ 15 36\ -56394+1879604=206156734 16: .1975年 安德鲁‧怀尔斯`\ Andrew Wiles$ 师 承 ,,[ 约翰 !=‧`_科次，研究椭圆\[_曲线 研究椭圆曲线的目[ (+的*是要算出他们的整数解，这[!-跟费玛 最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 _!] 5 _ 2=$33-/ 2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立方数中间). 由於要直接][.找=+出椭圆.曲!\线是.!很= %\;困:?难的，为了简化问题，数 $;学家採用`]「时鐘运算」方法 ( 在五格时鐘运\!= 算中， 4+2=1)]$ 椭圆方程式 x3-x2=y2+ -y 所有可能的解为 (x, y!) )=(0, 0) (0, 4) (1,=, = 0) (1, 4]-)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四]个解 对於椭! 圆曲 线，可写出一个(? ) E/-序?列 ;E1=1, E2=4,]* .....- 17.19. 54年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对 .称性的 modular f,(?orm 模型式#$ 模型式_的 要 素可从1[(开始标号到无穷（M1,+ M2, ( M3@)\, ...） 每个模型式的 M序 列 要素*?:?个数 可写成 ?)M?1/ ?*=1 M2=3 ...^)#?. 这样的范例 195 ,5年;_, 9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭_\圆` ) 曲线的 E序列，两 ;个不同[`领域的理论突然,*被连接在一$ .起 -] 安德=[].列*!‧韦依 採纳这个想法! %，「谷山-志村猜想」@ 18.朗兰兹提出「;(?^朗兰兹纲领」的@计画\+ (，一个统一化 猜想的理论 @:.，并开始寻找统一的 ^@环!链) =; 19.198 *4年 格哈)$\德‧? 弗赖+ G=erh+ard Fre +y 提出_ $ ](?-[1) 假设费玛最后定理是*错的，.则 xn+yn=;zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2)#- 弗赖椭圆方%(程式太古怪\\了，以致於无法被模型, 式化 . ](3) 谷山-志% 村猜-$想[( 断言=每一个椭圆)`方程式都可以被模型式@[化 (4) 谷山-志村猜想 是错 _误的 反 过来 .说 (1) [ =如 / 果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆+ 方[[@ 程式都可以被模型式化 (2) _ [每一个椭圆方程式都可以被模型式 `;化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) /\ 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+y ]n!=zn 没有整数解 (4) \费玛最后定理是对的 :;` 20.19^!-8^ 6年 肯]‧贝里_ 特-% 证明 ,?弗赖椭圆方程式无法被模型式化 如果有人能够证=,?明谷山-志村猜想，就?表示费玛最后定理也是正 确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋\$ #，他^ = @每隔!.6个月)/ 发表一篇小?论文，然后自@ ]己独力/[尝 试证 ]明谷山-志村猜 _;想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论//，希望能将E序列以「自然次序」一一对; 应到M序列% 22.19]^$88年 宫冈洋一 发表/利用微分几何) )!学证明谷山-志村猜想，但结果失_ @败). 23- .1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles!` 已经将椭 圆方程式拆解;; 成无限多项， (然后 ;$/也];证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24 [-.1992.@年 ^修改 科[?利瓦金-弗莱:;)契*^ 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效 25.19 93年 % 寻求同事 尼克‧`@凯]兹$ Nic%k *Katz 的= 协助，开始对\!验证证明 26.199*?!3年. 5月 「L- 函$数和算术」会议，安德鲁‧怀[)尔斯 An ?`drew@@ Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 ]27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一`+个重大缺陷 安德;\- 鲁‧怀尔斯* Andrew* Wi,%-+les `!又开始 ^%#隐居，尝$,试独 :)力解决缺\陷，他不希望在,这时候公布证明. ，让其他人分享完成证明=的甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯! And# =?rew Wiles 在接近放弃的边缘\^，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月1#?)\#9日 发现结合 依娃沙娃 =,Iwasawa 理论+与 科利瓦金-弗[^ 莱契 _ 方法就能够[(/完全解决? 问题 30.「谷山@-志村猜想」被证明了，故得证^「费玛最(/后定理」 : ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家费马?\=在一[@本书的空白)处 [写@)下了一个定理：“设n是大于2的正\ !整数 )，则不定方程xn+yn,.;-=?zn没有非零整数 ?解”*]。 ]] 费((马, *宣(+称[他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专##业数学家和*? (业余数学爱好者绞尽脑汁%.企图证:明它，但不是无功而返就是进-展甚#微。这就是纯数学中最着_+@ 名的定+(理—费马大定理。 费\+#马_!^(1 601年～1665年)是一位具有传奇色彩的.数学家，他最初学习法律并以 \%当律师谋生，后来成为议会议员，数学+_?]只不)过是他的业? 余爱好^，只能利用闲暇来研究。虽然.,年近] .%30 才认真注意数学，$ :@ 但费马对数论和微积分*#( 做出了]第一流的贡献。)%他与 笛卡儿几乎.[+[同 ,时创 (,;立了解析几何，同时又是,,17世纪兴起的概率论的探索 _者之一!。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但.\.$费马只 -对%其中一个定理给出了证明) #(要点 ，其他 定理除一个被证明是错的，一个未被证明外， 其余的 陆续被后%.来$ 的数学家所证实。这唯一#未被证明的定理就是上面所说 的费马大定理*\，因为是最后一个未被证明对或 [ :错的# $定理，所# *\以/ 又称为费马最后定理^。 ( 费马大定理虽然至今仍没 /;有完全被证明 ，但已$经有了很大(`进展，特别是最近几十年:^`，进展更快。 +?1976年瓦格斯塔夫证明了对小于1,#05的 素数?%(费马大定理都成=立。1983年一位年轻的德国-] 数);\[学家/+\法尔廷斯证明了不定方程x n+@;yn=zn只能 有有限多组解，他 的突出贡献使他在19 8 $.6年获得了数学界的最高奖之一费尔 ];兹奖。 1993年英国数学家 ^ \威尔^.斯宣布$证明\)#了费马大定-理，但随-后发现了证明中的$ 一个漏洞 $ 并.作 了修正。虽然威尔斯证明费马()大定理还没有得到数学界的一致公认，但 @大多数数学家认\`为他证明的思?\路是!)正确的。毫无@$疑问，这使!: (人们看到了希望。 为 ^了寻求$[ 费马大)))定*)理的解答(，三+个多世纪,_[!以_ 来，一`.代又一代的`,=数]\?学^_ 家们前]赴后继，却[ 壮志#未酬。1995年，美国普林 /斯顿大学的安德鲁\:_·怀尔斯教授经过8 \*年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大定理*。怀尔斯成为整个数学界的英雄 =。^)?`: !费马大定理提出的问题非常简\-=单，它是!用一个每个中*学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理% ——来表达的。2000# 多年前诞生的@^毕_\达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边.``的,%平方等于两直角边的平(方+之和 。=即^X2＋Y2=-%Z2。大约在公元16!37年前后 )%@，当费马在 研究毕达哥拉 ?,%斯方程时，):他写下一个方程，非*:;常类似于毕达+ !@哥拉 [:斯方程 #：Xn＋Yn=Zn,_=当n: 大 !于^$?2#$时，这个方程没 有任何整数解。费 ;马在《算术》这本书的*,靠近问题8的页边处记下这 个?!.结论的同时又写下一个附加*)的评,_*注：“对此，我确`]]@信已发现一个美妙的证法(，这里;)的空 $( 白太小，写不下。”这就是%+数学史上%* 着名的费马大定理或称费_马最 后的定理。费马制造(/了 一个数学史上最深奥的谜。 大问题 在物理学、化学或# 生物学中 ,，还没有任何问 题可以叙述:$得如此简单\[/!和清晰=，却长^久不 解。E \*·T·贝尔$=!?( Eric Temple Bell ()在他的《大; 问题》,`%,(The Last P%(]robl!*em )一书中写到， 文明世 界也许- \在费$@马]. 大^定理得以解决,@之前(`就已走到了尽:头。证明费马大(= 定理 \(成为数论中最@ 值得为之奋斗的/^事。? 安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国/? 剑桥， / 父亲是\一位工程学教 @授。少年时代的怀尔斯 . 已着迷于数学了。* 他在= 后来的[回忆中写^%到：“ /`在学校里我喜欢做题目，我把它们带#^回家 # ， $ .编写成我自己的新题目*[+。不过我以前找( @到的最好的题目是%^(在我们(\社区的图书馆里发/.现的。 /; ”一天 *，小#怀尔斯在弥尔顿街上的图书 馆看见了(][(一 ^本书，这,$-本书,-只有*_一%` 个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了 $。 这就 是E·T·贝;;尔写的《) 大 \问题 /》。它叙述 \=了) 费马`(?大定理的?[历史，[这个定理%:让一个又 一个的数学家望而生畏，)在长] 达3/00多年的时-$间里%%没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆 , 起被引向费马大定理时的感觉 ： [=+“它看上 @: 去如此简单，但历史\_上所有的大数学家都未能解 决它。这里?正摆着我——一个10岁的孩子——能\理解的问题，从=\那个时刻起，我知道我永 /]远不会放弃它。:,[*我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Me- \ #rton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare _! 学院做博士。在研究# _生阶/_.段，怀尔斯并?:没有从事费马大定( 理研究。他说：“研究[/ 费 ]马可能_( 带来的问题是 ：你花费了多年的时间而最终一[\,@事无成。 我的导*师约翰·科茨$ :(John Coa)^--t^) )e *`s;%)正在研 究_: 椭 )圆_曲线的Iwasawa理论! ，我开始跟随^:他)工 作。” ##科茨说：“我记*得一 [位同事 告诉-;?我，他有一个 @#非常好,的、刚完成 ^数学学, !士荣誉学(位第三部考试的学生.，他催促我收其 #为学生。我非常荣幸!/ 有 安德鲁)\这样的学生。即. 使从对研究生的要, [求来=看，他也有 很深刻的 ([思想， 非常清楚他`\ ,将是一个做大事` ^情 的数-)学家。当然_+，任何研究生在那个$阶段直接;%:开始研 究^,费马大定理!?:是不可%能的，即使对资历很^深的/.数学 家来说，它也太困难了。”科茨的责\%?任 是为怀尔 #! 斯找到某种至少能使他在今@后三年里有兴趣去研究的问=题。他说：“我认为研究 生导师能为学生=做的一%[切就是设法把-, 他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定# 是一个富有成果的研究方向=-，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的, 一件事是使用他 的常识、他对好领域的直觉。 !然后，学生!. 能在这(个方向+上 / 有多大\成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究数学?,中称为椭圆[+:?曲线=:/的领域。这 个决_;定成为怀 )@尔斯职业`\生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的 +-$工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在+剑桥 大学取得博 士 ]学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学 ?? 的教授。!在科茨的,*指(.导下，怀尔+ (/斯:或许比世界上其他人都更懂 ^得椭圆方;程，他 已 [经 #\成为一 \ ! 个着名的数论学家，但他清楚地意-)识到，即: ,!使以他广博的基础知识和数学修养，证!`明?): 费!马 大定理的任.$[务也: 是极为艰巨的。 , 在怀尔斯 ]的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－`!:志村猜想”， 该猜想在两个非 常不] 同的数学]^领域间 ,建立了一座新的= 桥梁。“那是1986年[夏末的一_!个傍 晚，我正在[/ 一个朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯 ·里贝特已经证明了谷山－志村猜.想与费马大 定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时 )刻，那个\=改变我生命_,:历程的 $( 时刻，因为 这意味着为了证明 费马大*[ .定理，!我 必须做的一切就是证明谷山－志,村猜想……我十分清` 楚 我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童:]*年梦想的道路。 20世;纪初，有人@ $问伟大++的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大-*\ 定*=+ 理，他 回!`(答说; (：“在=开始*着手之前%/，\我必须 用3年的时;#间作深入的研究，(?[ 而我没有^那么多的时\[ @间 浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯]*([知道，为了找.\#@到证明，他必须全+ .#身心;;,#地投入到 这个问.- 题中，!/ 但是与$ -希尔伯%特不一样，他愿意冒这个风险。@ 怀`尔斯作了 ] @ 一个重大的决定：要完, 全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费 马大定理有 关的-?!-/任何@ *事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多/,年 都使自己精力集中 ，除$[非).^你的专 心不被他人分 _散，而这一点会因 _ 旁观.者太]@多而做 ?不到。”怀尔斯放弃了所有 ( # 与*证明费马$大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他 ?-就回到家 $里工作，在家里的顶 楼书房里他开始%[了 通过谷山－志村猜想来证明费马大=%定理的战斗 \!。 这是一场 长达-:`7年的-_!持久战，这期间只有`);他的妻) 子知道他在证明费马大定理。 欢 呼与\等^``待 经过7(年的努 .力，怀[-=(尔斯完成了谷山－志村猜想的 证明。作为一个结果，他 * 也证明了 费马大定. 理。现在是向世[ 界公布的时候了。.\1993年6月底，有一- 个重要的会议要在_)$剑桥大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯决[定利用这个^机会向一群杰出的听众宣布他的$工*;;作。他选择 在-)`牛顿研究所宣 [布的另外一个主要原因是剑桥是他的*家乡，?(他曾 *:经是: /:那里的一/(^名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要%*的@* 一次数学讲座。两;百!\名数学家聆 听了这#一演讲 _，但他们之中只有= 四分之一的人完全%=懂得黑板上的希腊字母和代数式所=-=表达 的意思。其余的人来这里是为了见证他们+*所_期待的一个真正具( ^有意 $-义, :的!时刻。演讲者是安 , 德鲁·怀尔斯。怀$\尔斯 ?回忆起演讲最/ /后?:时刻?_^ 的情景：“虽然新闻界已经刮,/(起有关演$]( (讲的风 声) ，很幸运他们没有来听演讲。但 /是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯 定)\.$事先就准备=了一瓶香 槟酒。当我宣读证明时)，会场上保_持-@着 ; #特别庄重的寂%静，)当 ?我写完 费马大定理的证明时，我说 ：/$‘我想我就在这里结束’，会%*场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” , 《纽约时报》在^^#头,版以《终 于欢呼“我发现了!”， =*久远的数学之谜获解》为题报道 费马大定理 :^ /被证明的消息。一夜之间，怀尔斯_(\ 成为%;%世界) 上最着名的数学)家，也是唯一的数 学家。#*\《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年+ 度2*5位最 )#具魅力者”。最有创 意的赞 美来自一家国际制衣\大公司，他们邀请 + 这位温文尔雅的天才作他们 !]新系列^男装的模 特。 当怀尔斯成为媒体报+`道的中心时，认真核对这个证明的工作 !^)也在进行。科学的程序要 求任何数?,^学家将完;整的手稿送交一,)@个有声望_:?的?刊物，]%然后 $+这`个刊物的编辑将它送交一组审 [? 稿人，[/审稿人的职责是进行逐_!行的审查证明。怀尔/斯将手稿投到《数学发明》，整整一个 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得=-到他们的祝福。可是，证明 )的一个缺陷被发 现了 ,-。 我的心灵归于:平静 @*+ 由于怀尔斯 的论文涉 及到大量的数学方法，),编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定 :]_2－] 3个审稿人，_]而是6个审稿人。200页^?的证 /,明被分成6章，\+#%每位审稿(人负责其中一章。 怀#尔斯在此期间中断了他的工作，以@-处理 !\ 审稿人在电子邮件中提出的问题 @，他自信这 些问题.- ?不会给他造成很大的麻烦$?,[。尼克·凯兹负责审查 ,#第3 @(;章，1993年8月 (23#_日， )他发现了 证明中的一个小缺陷/]。数学的+?绝对主义要求怀尔斯无可怀 $(疑地证明他的方 法.]/中的每一步都 行得#=(通;-。怀尔斯*以为这又是一个小 ,问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个 [多月*: -过去了 ，错误仍. 未`[-改正，怀尔 #斯面- 临]绝境，他准备承认\$失败`,?。他向同事彼得·萨 克/!说明自己的情 况#%，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问%] ;题并且可信赖的 人。经_\过 长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥`!大学的讲,=,:师理 查德·泰勒到普林斯顿和他一起:?工作 。 泰勒199_4年1 _月# 份到 普林斯顿，可是_ ^到了9月，依然没有结果，他`们准备放弃了!。泰勒 [ 鼓^@//励 - 他们]-再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作^ 最后一^`)次检查? ,。9月19`.日，一个@ 星期一( 的早 晨，怀尔斯发现了问题的\ 答案，他叙述了这一时刻：“-[突然间，不可思议地， `我有. 了一个 难 /以?!\ 置信的发现。这-是我的事 业中最重要的 _(时刻，我不会再#+ 有这样 -(的经历- … , …它的美是如 @ 此地难以形容；它又是如此简单和优美。2 % 0多分钟的时间我)/(,呆望它 # 不 *敢相;+@信。然后白天我#! 到系里,[转了) 一=圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它% 还在=!+那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极， 怀尔斯终于向\世界证@ 明 ??了他的才能。世 界不再怀疑 ` (这一!%*次的证明了*:;。这两篇论文总共有13*0`页，是@$历史()上核查得最彻底的数学稿 件，它们发!表在+ 1995年5月的《数学年刊》上`%。怀\%.尔斯再一次) 出现在《纽约时报》#的头`.版 $上+ ，标题是《数#学家 `称经典之谜已解决#!》。/约+翰*!^+·科茨说：“用`数学的术语来说，)这#=个最 终的证明可与分裂原子-或发现D]! [NA(的结构相比，; *(对费马大定理*.的证明是人类智力, :%活/动的一 ? 曲凯歌，-同时，不能忽视 的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来!+，安 [德-$鲁成果的美和魅力在于它是走向代数(?数论的巨大%的一 步。`/” 声望和荣誉纷至沓来。! 19 +95年，怀尔斯获得瑞典 皇家学会颁发的@S.c !^hock数学奖，199 6年，他@- -获得沃尔夫奖，并当选为`美国/科学院外籍院士。 怀尔 *,斯说-`：“……# 再没有别的问题能- 像费马大定理一样对我有同样的意` (义。^$我拥有如 此@少有的特权， ,/在我的成年@(时期实现我童年的梦想…, …那段特殊漫长的探索已 经结束了， 我的心]%,-.已归于@.平静。” ] 费马大定理:只有在相对数学理论的建立之后，才会得到最满意*的答案 。相对数学理:#论没 \%=有完成之前，!)谈,#)这+`# 个问题/`是 `无力地=:.因为人们对数量和自身的认识，还没 有[+达 *到一定的高).@度. ]! ii i 费马大定理与怀尔斯的因果%律-美国公众广播网 对怀?-)尔斯的 专访 358年的难解 之谜 数学爱好者费马提出 @:的这个问题非常简单，它用_ 一个每个中学生都[]$熟;悉的..数学定理——毕达哥拉斯定理来表-达。2!]=0^-=00多年前 诞生的;_![毕达-%哥拉斯定理说：在一个直角 三角@%形中 -，斜#^边=):![的平方等于两个直角边的平方之和。`=-+即X2+Y@\ %]2+=Z2 =。大约在 # 公元1637年%+前后 ，当费马 /_在 研究^毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题 8的页边处写下了这^?段文:):[\字：“设?. n是大于= 2\[的正整 数，则不定方程xn+yn=zn( #没有非整数解，对此， -?我确信已发现%一 个美妙的证 ^ 法\+，$但这里的空白太小，. 写不下 。”费马习惯在页*)边写下猜想， [费马大定!理是其中 : [^困扰. 数学家们时间最+)长的，所以被称为F= @erm)/)at’(s Last Theo#+ r_ e+^=`m-_（费马\?最^`; 后的定理） @——公认为有 - 史以 来最着名的数学猜想。 在畅销书_)作家西\ 蒙·辛格? . （Simo/,n ;? Si ngh）的$笔下，这段神秘留言引发的长* 达358年的猎逐 充%满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及=到最多+产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、?由业余转为职业数学家的/* 柯西、英年早!^;逝的天才伽罗瓦、@理;!论兼试验大师库默尔和被;\$=誉为“法国历% .史 :上知识最为高深的`女性”的苏菲_·姬尔曼…@^ …法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学- 界的明日之星谷山丰的神秘自杀、($ 德国 数学爱;]好 者保罗·沃尔夫斯凯尔最+]后一刻$的舍死求) 生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的?#,宏大戏剧中的 ^一!= 幕，为最后谜底 的%*解开埋=_.下伏笔。终于( ;，普林 [斯顿*]的怀尔斯出)现#=了。他找到谜底，把这出戏 推 向高潮并@戛_:然而止，留下\一段耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言) ，证明费马大定理^,不仅是破译; 一个难解之谜=，更, [是 ^去实 现一:) 个儿 时的_ #梦想)+=$。“我 10岁时在+图书馆找到一本数学书，*.]告诉我有这么一个问题，30?0多 年前就已经%有人解决了它，但却 没有人看到过*.它的证明，也无人+`]确信是否有这个证明/(，从那以后，人们就不断地求# ,证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历/?^史上诸多)`#伟% !大的数)学家: +,们却不)能解答。于是从那时起，我就试过解决@* 它，这个 +问题就是费! 马 大定理。 ,(?”:` 怀尔斯于+1970年先后在牛津%大学和剑桥大学获得数学`学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁 *-在一边`了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我/ 们所掌 =握的用% 来攻克它的全部技 术已经反复使`))`用了130年+ 。而这些技^)术似乎没有 [_触及问题根本。”因为 $担心耗费太多时间而一无_所获，他“暂时放下了:_”对- //费马大定理] : +的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看*!似:,#与证明+ 费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦^ @想的` ;$工具。 时间回溯 @#至20世纪60年代，普林斯顿-(数学家朗兰兹提出了一个大胆 =.*的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在= !=-着的统一-的链接。- ([如果这;个/\! 猜想被证实，意味%着%在?+^@某个数学领域中无法解答的任何问题都有(.可能.$;+通过这种- 链接被 ;转换成;[另一个领域中相[@应] ; $的问题——可以= 被一 ,*整! 套新方案- 解决的问题。而如果在另一个领域内仍?然难以找到答)!^/案，那么可,以把问),题再转换) 到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领-，有一天，[ ]数学家,们将能够解决曾经\- 是最: - 深!奥最难对付的问) :题——“办 +; 法 是领着这些 问题周游数学王国的各个%风景胜\]地”。这个纲*!领 为 饱受哥德尔不完备定理打击的费马大^定(@理证明者们指明了救-[/]赎之路—— 根-据不完备定理，费马大定理是不可证[明 \的。 怀尔斯后来正是)依赖于这个纲领才得以=[)证明费马大]?定理的：_,他的证+`:明— —不_%/同于任何前人的尝试——是 )现代数学诸多`#] 分支（椭+)*) 圆曲 .` 线 -?论，模^/]形式理论，#,!!伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结@,果$;*^。20世纪50年代由两位日=本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（;`Ta)niyama-Shimu;(]ra co[ njectur:e）暗示：椭@ 圆方程与!模形式=/两个截然不同的数学岛屿间隐藏`着一座沟通的桥梁。随后在19 84年，德国数学家格哈德·费赖（?, Gerha;;[rd F rey ）给出了如 下猜想：* 假如=!谷)]山— 志村猜想成立，则费%%马大定/#理为真。这个猜想 紧接着;*在% 1986年被肯· 里贝特（#. Ke n: Ribe) :/t）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山)—志.=%/村猜想链接在一起：如果有人?!.?能.证明谷山—志村猜想（即“每一个椭^] 圆方程都可以/; 模形:式)@?化”）[ ，%^;那么就证明了( 费马大[#定理。 “人类智力活动@(的一曲凯歌?” 怀尔斯?诡秘的行踪? 让普林斯顿的着[;?+名 \:数[#学家:[同事们困惑。彼得·萨奈[,克（P+@et+ #\er Sarn\,ak $_）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯 % 在做些 什么？……他总 -是静悄悄的，也许=(=他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则 ?@感叹到：“一点暗示;\都没有！”对于这次惊天 ,“大) 预谋”，肯·`/里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这^(%可能是^?我平生来见 ^ 过的唯一- *+ 例子，= :在]-如]+ 此长的时间里没有泄露任何有关工作的信.$息。这是)]/空前,* 的。 1/!993年^$晚春，在经过反复的试错. 和(\绞尽*`脑汁的演算，怀尔斯,=\终)于完成了谷山—志村猜想的证明。作 为一个结果，他也证明了费马大定理。彼[得$^=·萨奈克是最早^得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大* 型系列讲座上宣布这一证明。 “ #`讲座气氛很热烈，有很多`!数学界重要人物到场，当大家终 于明白已: 经离证*明`费马大定理一\$-步之遥[`[时，空气中充 )=满了紧张。” 肯·里比()特回忆说。巴里·马佐尔（Bar ry Maz _ur）永远*也忘不*\了那$ 一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的 ;、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫， ],_ 充满悬=念，直到[^(最后到达高潮。”_当怀尔_斯在讲座结尾宣布*% 他证./明了费马大定( 理时，他成了全世界媒 @$体的焦点 。《纽\\约时报》在头版以《终于欢呼“+我发 _现了!”久远/ )的数学之谜获解》（“At Las t Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old.@` Math Mys@ t!?@^ery”）为题报道 .费马大定理被证明的!$消息。一夜之间，怀尔斯/`成为世界上唯一\的数学家。《人物》杂志将怀 尔斯 ))# 与戴安娜王妃一起列 _为“本[.年度25位最具魅力者;% \”。 与.?+,此同时，认真 (^核对这个证(明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的^ “费,+马大定理终结者”一样，他+_的证明是有缺陷的-/。怀尔斯现,.=在不得/ 不在*%巨大的压 ]%力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Co#+^+nway]曾`在美国) 公众广播网（PBS）的访谈中 !说: “当时我们其#`他人（$ !怀尔.斯(_-@的;同事）的行为有点像 @‘: 苏联政体研究者’，都想知道他的想!法和修正错误?+的进展，但没,#有,-人开口问,[`他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀.尔斯了。’‘他露出笑容了吗!#!？’‘他倒是有微笑，但看起(来并不*?高兴。’” 撑到1 99,4年,+@9月时，怀.尔斯准备放弃了=]%@。但他临时邀请的研究搭( \档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止]日到来之前两周， @ 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀@尔斯发现了:问题的答案，他叙述了这/)一时刻 ： (“_突然间，不可思议地 $，我:发 [现了它]……它美得, /难 _以形容，简单而优雅。我对着它发了 ;2 !0多分钟呆。然后我到$系里转了一圈，又回到桌子旁看看它\是否还在那里 @——它确实还 !在那里。/” 怀尔斯的证 ? [明为他赢得了最慷慨的= 褒扬，其中最具代表#%%性的是他在剑 桥 :?时的导师、]着名数 $学家约翰·科茨的评价(*：“它（证明）是人^[类智力活动的 @一曲凯歌”。 一场旷%#日持久的猎逐就 ?此结#束，从.)此费马 大定理[_ 与安德鲁·怀尔斯的,名字-\紧紧*$_#!地被绑在了一起，提到一个^_+;就不得不提到[另外一个。这是费马大定理与安德鲁=^_.·怀尔斯的因果律。 $ * 历时八年的最[终证明 -_ 在怀尔斯不多的接受, 媒_$ 体采访中，美国[*公众广播网（+)PBS）NOVA节 \目对_ 怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文节选部]?分以飨读者。 - ( 七年孤独 ? NOVA：通\+常人们通过团队来获得工作上的支持，那=么当你碰壁时是怎么解决问[题的呢？ 怀尔) $斯：当我被卡住时我会沿.着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放[* 松*状态，同时你的((_潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌:-\，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找 -.个长. 椅坐下 # 来打草稿…*)… #?@ ;/NO] +!VA：这七年一定交织着自我怀疑与成功… …你不可能绝对有把握证明。* 怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅 \] 因`/)为解决难题的方法超出现 *有的数学?，也$ -`许我需要的方法下个世纪也不会出现,。所以即便我在正确的轨+`道上 $/，我却可能生活在错[误的世纪。 + NOVA：最终在1993年，\=你取得了突破。= 怀).尔斯： =?对，那是个5*=月末的早上。Nada，我-%的太太， $和孩 子们出 \去; ];了。我坐在$ 书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇* 论文，;;上面的一行字引起了我的/+ 注意。它提\,$到了一#..个19世纪 (的数$; 学*结.#构，我霎时意识到 -$这就是我_=该用的,^。我不停)?地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证 明了费!@马大定理，然后下楼。N ada很=吃惊，以+为我这;=? 时才回家;?.，我告*]$诉她，?我解决了费马大定理`。 ,最后的+ 修正 NOVA：;*《纽约 ( 时报》在头版以《终于欢呼“我发,($现_!了!”，久远的数学之谜!@=`获解》+ ，但他们并[不知道这个[:证明中有个错误; 。+ 怀],尔 ,斯：那是个存在 ,;于关键推导-,`中的错误，但/;它如此微妙以至于我:忽!:略了。.*它很]`;!抽象，我无 =法用简单的;, 语言描述，就算是数=学家也需要*\ 研 )= 习两三_ 个月才能弄懂.[,。* NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工]\/作^`，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的 ,证明和费马(^`_的证明是同一个吗]？ 怀尔斯：不 [\可能。这:(个证明有150页 _ ^长，用的是20/*:世*+纪的方法， \^在^ 费马时代还不存在` 。 NO= \VA：那就是说费[马的最初证明\ 还在某个未被发\ 现的角落？ 怀尔斯：我不相信他有证 @明。我觉] 得他说已经找到解!,%%=答了是在哄自己。这个/?难题对业余爱好? 者如此特别^@.在于它(可能=;被17世纪的数学证明，尽管可] 能?性极其微小。 NO)^VA：所以也许还有数@-+学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了#它我有一丝伤感，它.已 #经和我们?\_#一起]. 这^%@么`久了……人们\* 对我说[[@“;*你把`+我的问题` 夺走了”，我能带 :!\给他们其他的`东西吗@%？我感觉到有责任。我$(希望通过解决这个问题带来的兴 奋可%+以-激励青年数\学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷=]山-.+志村定理]@(Tan*#iyama-Shimura the/,o:rem)建立了椭 $圆曲线(代数几何的对象)和模形式 _(某种数论中用到 的周[期-性全+ !纯函数)之间的重要;联系。虽-;然名字是从谷山-志村猜想而来,定理 :-%的证明是由安 (德鲁·怀 尔斯, Ch ^ ristophe B**reuil, Br?$ian /,Conrad, ^Fred Diamond,和Ric har- d ,=$ Taylor完成. 若_`p是一个质数]而E是一*个Q(有理数域, #)*上[#.的一个椭圆`)曲线，我们(!*可以简化定义E的方程模p除了有限个p值，)%我/ 们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆[.曲线。然后考虑如#-下序列 ap #= np − p, 这是;椭圆曲$:线E:.^的重要的%不变量。从傅里叶变换，_每个模形式也会产生,一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线]$叫做模的。%$ 谷山[-志% 村#,定说: "+ 所有Q上的椭圆曲线是模的. &quo;,\t。 该定理`;)在1955年9月由`+谷山丰提出猜想。到1957, (年为止，他和志村_]五郎一起+`=:改,; 进了严格性。谷山于1 $$ 958年自杀身亡。在196 0年代，它和统一数学中的猜想Langland, s纲领联系了起来，并是关键的;/组 成*部分。猜想由André Weil于%@ ;1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一 起。尽管有明显的用处，这个问题 的深度 :在后 来的发展之前并/未被人们所感觉到。 在198 0年代当Gerha;rd F -$reay.`*建 议谷山-*志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注%*意力。 , 他通过试图表明费尔马大定理的任!?何范例会导致一-? %个[:非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken = Ribet后来证明了这; .[一.= 结果。@%_%在199 =-5年，Andrew Wiles和Ric%?h` ard #Taylor证明了谷山-志:_村定理的[*一个特殊情况(半稳定椭圆(\曲线的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明最后.-于1999年由`(Breui@ (l,Conrad,*:Diamo _nd,和Taylor%作出，他们在W[il\:es的基础上， ; ]一(/*块一块的逐步证*明剩下的情况直到全部完成。 ]/ =数论中类=似于费尔马最后定理得几个_? 定理 \/ 可以 %从谷山-.^$(志村定理得到。例@如:没有立,方可以)\写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1 )99`6年三月，Wile:s和%;Robe%rt La ngla`;nds分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有:/完成给予他们这个成就的定理[的.完整形式，他们还是被认 %=为对最终完成的证明有着决定性影响。